Η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ:
Η ΛΟΓΙΚΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Ένα βιβλίο από το πρόγραμμα του Ιδρύματος Nuffield
για τη διδασκαλία των Μαθηματικών.
Επιμέλεια - Μετάφραση: Τάσος Ανθουλιάς
Τρίτη έκδοση - Εκδόσεις Χελιδόνι, Αθήνα 1997
Ένα βιβλίο για τα Σύνολα σε μια εποχή όπου τα Σύνολα έχουν χάσει την αίγλη που είχαν στη δεκαετία του 1970; Ίσως, ακριβώς γι’ αυτό. Τα Σύνολα “ενέσκηψαν” στην Ελλάδα ως μόδα και όχι ως ένα εκπαιδευτικό εργαλείο. Χωρίς καμιά παιδαγωγική προπαρασκευή, χωρίς κανένα εκπαιδευτικό στόχο, τα Σύνολα μπήκαν στο ελληνικό σχολείο. Και είδαμε να συμβαίνουν διάφορα:
Είδαμε να κυκλοφορούν βιβλία για το Νηπιαγωγείο, στα οποία “διδάσκονταν” οι έννοιες της τομής και της ένωσης (με χρήση των αντίστοιχων μαθηματικών συμβόλων). Είδαμε να γράφονται βιβλία Μαθηματικών για το Δημοτικό, όπου δινόταν περισσότερο βάρος στη θεωρία των συνόλων παρά στην έννοια των αριθμών και των πράξεων. Είδαμε στο Γυμνάσιο να μετατρέπεται η θεωρία των συνόλων σε “κεφάλαιο” των Μαθηματικών, το οποίο (φυσικά) το “ξεχνούσαν” μόλις το τέλειωναν. Το μόνο, βέβαια, που δεν είδαμε ήταν να καλλιεργείται η μαθηματική (λογική) σκέψη των παιδιών...
Ίσως, λοιπόν, τώρα, που η μόδα πέρασε, μπορούμε να αρχίσουμε να βλέπουμε λίγο πιο καθαρά, πιο επιστημονικά. Πρώτα, όμως, θα πρέπει να δώσουμε μια ικανοποιητική απάντηση στο ερώτημα: γιατί διδάσκουμε τα Μαθηματικά σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης και σε όλα τα παιδιά;
Η παραδοσιακή απάντηση είναι πως η διδασκαλία των Μαθηματικών καλλιεργεί τη σκέψη και την κρίση των μαθητών και γι’ αυτό όλα τα παιδιά διδάσκονται Μαθηματικά. Αυτή η απάντηση, όμως, δεν είναι καθόλου ικανοποιητική. Εκτός κι αν δεχτούμε ότι η μεγάλη πλειοψηφία των παιδιών είναι ανίκανη για σκέψη και κρίση – αφού δεν έχει ικανοποιητική απόδοση στα Μαθηματικά.
Από το άλλο μέρος, πολλοί δικαιολογούν την αποτυχία της πλειοψηφίας των παιδιών στην προσέγγιση των Μαθηματικών με το “απόφθεγμα” ότι τα Μαθηματικά είναι μόνο για τους λίγους, τους “έξυπνους”. Βέβαια, αν αυτό είναι αληθινό, τότε με ποια λογική όλα τα παιδιά είναι υποχρεωμένα να διδάσκονται Μαθηματικά; Γιατί δεν ξεχωρίζουμε τα “ικανά”, ώστε να διδάσκουμε τα Μαθηματικά μόνο σ’ αυτά (και να μη βασανίζουμε τα υπόλοιπα);
Οι αντιφάσεις που αναφέρθηκαν (και που δεν είναι οι μόνες) οφείλονται στην ασάφεια της ίδιας της έννοιας “διδασκαλία των Μαθηματικών”. Για ποια Μαθηματικά μιλούμε; Τα Μαθηματικά είναι ένας τρόπος περιγραφής της πραγματικότητας και των σχέσεων που διέπουν αυτή την πραγματικότητα. Ανάλογα με το επίπεδο προσέγγισης της πραγματικότητας, τα Μαθηματικά που χρησιμοποιούμε είναι “διαφορετικά”. Επομένως, πρώτα θα πρέπει να ορίσουμε το επίπεδο προσέγγισης της πραγματικότητας, το οποίο επιδιώκουμε σε κάθε βαθμίδα της εκπαίδευσης.
Όσο τα Μαθηματικά είναι αποκομμένα από την πραγματικότητα που περιγράφουν, όσο δεν παρουσιάζονται στους μαθητές ως εργαλείο αναγνώρισης και διερεύνησης της πραγματικότητας, τόσο και θα οδηγούν σε αδιέξοδο την εκπαίδευση.
Τα Σύνολα δεν βοήθησαν σε τίποτα την εκπαίδευσή μας γιατί δεν αντιμετωπίστηκαν ως μέσο περιγραφής της πραγματικότητας, αλλά μετατράπηκαν σε σκοπό – σε αυτοσκοπό. Έτσι, φτάσαμε να διδάσκουμε τη θεωρία των συνόλων σαν ένα άθροισμα νέων ορισμών, θεωρημάτων και τύπων, δίπλα σε αναρίθμητους άλλους ορισμούς και τύπους.
Κι όμως, τα Σύνολα ήταν και παραμένουν η πιο ολοκληρωμένη περιγραφή της πραγματικότητας. Ξεπερνώντας τη μυθολογία των “τύπων”, βοηθούν σε μια απλή και καθαρή προσέγγιση των σχέσεων ανάμεσα στα στοιχεία της πραγματικότητας. Επιπλέον, η θεωρία των Συνόλων συνδέει τα Μαθηματικά με τη λογική, στοιχείο πολύ σημαντικό για τους στόχους ενός σύγχρονου σχολείου.
Το βιβλίο αυτό, που βασίζεται στο Πρόγραμμα για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών του Ιδρύματος Nuffield (του Πανεπιστημίου του Λονδίνου), αποτελεί μια εισαγωγή στη λογική με την πιο πλατιά έννοια της λέξης. Βασικός σκοπός του είναι να βοηθήσει τα παιδιά ηλικίας 8 ως 15 χρόνων να σκεφτούν καθαρά και λογικά. Στα Μαθηματικά –και, ακόμα περισσότερο, στη Μαθηματική λογική– η γλώσσα χρησιμοποιείται με πολύ μεγάλη ακρίβεια. Σε αυτό το βιβλίο, τα παιδιά οδηγούνται να συνειδητοποιήσουν τον τρόπο, με τον οποίο χρησιμοποιούν τις πιο σημαντικές για τη λογική λέξεις, καθώς και στο να εκφραστούν όσο μπορούν πιο καθαρά και θετικά. Η έμφαση δίνεται πάνω στη γλώσσα που χρησιμοποιείται στην καθημερινή ζωή.
Αυτό που θέλει να αποδείξει το βιβλίο είναι ότι τα Μαθηματικά έχουν σκοπό να βοηθήσουν στην κατανόηση της πραγματικότητας και γι’ αυτό μπορούν να ενδιαφέρουν και να γίνουν κατανοητά από όλα (ή, έστω, σχεδόν όλα) τα παιδιά.
Μπορείτε να δείτε μια εισαγωγή γι' αυτό το βιβλίο στη διεύθυνση του YouTube:
https://www.youtube.com/watch?v=Lu7zY_eNH-k
Από τον παραπάνω πίνακα γίνεται φανερό πως, μέσα στο δοσμένο σύνολο των ζώων, το υποσύνολο εκείνων που γεννούν αβγά, κοιμούνται τη νύχτα και δεν είναι κατοικίδια έχει δύο στοιχεία, τον αετό και τον κροκόδειλο.
Ερώτημα 1
Γιατί διδάσκουμε τα Μαθηματικά σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης και σε όλα τα παιδιά;
Ερώτημα 2
Ποια Μαθηματικά διδάσκουμε;
Ερώτημα 3
Γιατί η πλειοψηφία των μαθητών δεν τα "καταφέρνει" στα Μαθηματικά που διδάσκει το σχολείο μας.
Απαντήσεις:
Αυτό που θέλει να αποδείξει το βιβλίο είναι ότι τα Μαθηματικά έχουν σκοπό να βοηθήσουν στην κατανόηση της πραγματικότητας και γι’ αυτό μπορούν να ενδιαφέρουν και να γίνουν κατανοητά από όλα (ή, έστω, σχεδόν όλα) τα παιδιά.
